Jika \( S=1+\frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin^2 2x + \frac{1}{8} \sin^3 2x + \cdots \) maka...
- \( \frac{2}{3} < S < 2 \)
- \( \frac{3}{2} < S < 2 \)
- \( \frac{2}{3} < S < \frac{3}{2} \)
- \( \frac{1}{2} < S < \frac{3}{2} \)
- \( \frac{1}{2} < S < \frac{2}{3} \)
(Soal SBMPTN 2014)
Pembahasan:
Ingat bahwa deret tak hingga akan konvergen dengan syarat \( -1 < r < 1 \) sehingga kita peroleh:
\begin{aligned} -1 < r &< 1 \\[8pt] -1 < \frac{1}{2} \sin 2x &< 1 \\[8pt] -2 < \sin 2x &< 2 \end{aligned}
Selanjutnya, berdasarkan jumlah deret tak hingga, maka:
\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2} \sin 2x} \\[8pt] &= \frac{2}{2-\sin 2x} \\[8pt] \text{Untuk} \ \sin 2x &= -1, \ \text{maka} \ S_\infty = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \\[8pt] \text{Untuk} \ \sin 2x &= 1, \ \text{maka} \ S_\infty = \frac{2}{2-1} = 2 \\[8pt] \text{Jadi,} \ &\frac{2}{3} < S < 2 \end{aligned}
Jawaban A.